Distribusi Poisson

📊 Distribusi Poisson

Distribusi Poisson adalah distribusi probabilitas yang menggambarkan jumlah kejadian atau peristiwa yang terjadi dalam suatu interval waktu atau ruang yang tetap, di mana kejadian-kejadian tersebut terjadi secara independen dan dengan tingkat yang tetap (konstan). Distribusi ini digunakan untuk model peristiwa yang jarang terjadi atau kejadian yang memiliki frekuensi rendah dalam jangka waktu atau ruang tertentu.

---

1. Karakteristik Distribusi Poisson

Distribusi Poisson memiliki beberapa karakteristik utama sebagai berikut:

• Peristiwa terjadi dalam interval waktu atau ruang tertentu: Distribusi Poisson digunakan ketika kita mengamati peristiwa yang terjadi dalam jangka waktu atau ruang yang tetap.

• Kejadian terjadi secara independen: Kejadian-kejadian dalam distribusi Poisson bersifat independen, artinya kejadian satu peristiwa tidak mempengaruhi kejadian lainnya.

• Tingkat kejadian tetap (λ): Distribusi Poisson berasumsi bahwa kejadian terjadi dengan tingkat yang tetap dalam setiap interval waktu atau ruang. λ (lambda) adalah parameter distribusi Poisson yang menunjukkan rata-rata kejadian per unit waktu atau ruang.

• Kejadian jarang atau tidak terduga: Distribusi ini sering digunakan untuk peristiwa yang jarang terjadi dalam suatu periode waktu tertentu, seperti kecelakaan lalu lintas, kedatangan pelanggan, atau kerusakan mesin.

---

2. Fungsi Probabilitas Poisson (PMF)

Fungsi probabilitas distribusi Poisson untuk mendapatkan ( k ) kejadian dalam waktu atau ruang tertentu adalah sebagai berikut:

$$P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$$

Di mana:

• $P(X = k)$ adalah probabilitas terjadi ( k ) kejadian dalam interval waktu atau ruang tertentu.

• $\lambda$ (lambda) adalah rata-rata kejadian per unit waktu atau ruang (parameter distribusi Poisson).

• $k$ adalah jumlah kejadian yang diinginkan (biasanya berupa angka non-negatif: 0, 1, 2, …).

• $e$ adalah bilangan Euler (sekitar 2.71828), basis dari logaritma natural.

• $k!$ adalah faktorial dari ( k ), yaitu hasil perkalian semua bilangan bulat positif hingga ( k ).

---

3. Contoh Kasus Distribusi Poisson

Misalkan kita ingin menghitung probabilitas terjadi 3 kecelakaan lalu lintas dalam sejam di suatu jalan raya, dengan rata-rata kecelakaan per jam adalah 2 kecelakaan.

• $\lambda = 2$ (rata-rata kecelakaan per jam)

• $k = 3$ (jumlah kecelakaan yang diinginkan)

Menggunakan rumus distribusi Poisson:

$$P(X = 3) = \frac{2^3 e^{-2}}{3!}$$

Menghitung:

• $2^3 = 8$

• $3! = 6$

• $e^{-2} \approx 0.1353$

Maka:

$$P(X = 3) = \frac{8 \times 0.1353}{6} = \frac{1.0824}{6} \approx 0.1804$$

🧾 Kesimpulan:

Probabilitas terjadi 3 kecelakaan dalam 1 jam adalah sekitar 0.180 atau 18%.

---

4. Parameter Distribusi Poisson

Distribusi Poisson hanya memiliki satu parameter utama, yaitu λ (lambda):

• λ (lambda): Rata-rata jumlah kejadian yang diharapkan dalam suatu interval waktu atau ruang yang tetap. Parameter ini menggambarkan tingkat kejadian per unit waktu atau ruang.

---

5. Mean dan Varians Distribusi Poisson

Distribusi Poisson memiliki sifat unik bahwa mean dan varians dari distribusi ini adalah sama, yaitu:

Mean (μ) dari distribusi Poisson:

$$\mu = \lambda$$

Artinya, rata-rata jumlah kejadian dalam interval waktu atau ruang tertentu adalah sama dengan nilai $\lambda$.

Varians ($\sigma^2$) dari distribusi Poisson:

$$\sigma^2 = \lambda$$

Varians ini menggambarkan seberapa besar penyebaran jumlah kejadian yang terjadi di sekitar rata-ratanya.

---

6. Aplikasi Distribusi Poisson

Distribusi Poisson digunakan dalam berbagai bidang yang memerlukan pemodelan kejadian-kejadian yang terjadi dalam waktu atau ruang tertentu, seperti:

• Kecelakaan Lalu Lintas: Menghitung jumlah kecelakaan yang terjadi di suatu jalan raya atau persimpangan dalam periode waktu tertentu.

• Pusat Layanan Pelanggan: Menghitung jumlah panggilan telepon yang diterima di call center dalam satu jam atau satu hari.

• Kedatangan Pelanggan: Menghitung jumlah pelanggan yang datang ke toko dalam satu jam.

• Kerusakan Mesin: Menghitung jumlah kerusakan mesin yang terjadi dalam pabrik per minggu.

• Gangguan Layanan Jaringan: Menghitung jumlah gangguan yang terjadi pada sistem jaringan komputer dalam waktu tertentu.

---

7. Contoh Aplikasi Distribusi Poisson

Misalkan sebuah rumah sakit menerima rata-rata 5 pasien yang datang dengan gejala tertentu setiap jam. Berapa probabilitas rumah sakit tersebut akan menerima 7 pasien dalam satu jam?

• $\lambda = 5$ (rata-rata pasien per jam)

• $k = 7$ (jumlah pasien yang diinginkan)

Menggunakan rumus distribusi Poisson:

$$P(X = 7) = \frac{5^7 \cdot e^{-5}}{7!}$$

Perhitungan:

• $5^7 = 78,125$

• $7! = 5040$

• $e^{-5} \approx 0.0067$

Sehingga:

$$P(X = 7) = \frac{78,125 \cdot 0.0067}{5040} \approx 0.091$$

✅ Kesimpulan:

Probabilitas bahwa rumah sakit akan menerima 7 pasien dalam satu jam adalah 0.091 atau 9.1%.

---

8. Kesimpulan

Distribusi Poisson adalah distribusi probabilitas yang digunakan untuk menghitung jumlah kejadian yang terjadi dalam interval waktu atau ruang yang tetap. Distribusi ini berguna untuk model peristiwa yang jarang terjadi, seperti kecelakaan, kerusakan mesin, atau kedatangan pelanggan. Dengan menggunakan λ (lambda), yang menggambarkan rata-rata kejadian per unit waktu atau ruang, distribusi Poisson memberikan gambaran yang akurat tentang probabilitas terjadinya jumlah kejadian tertentu dalam jangka waktu atau ruang yang diobservasi.