# Distribusi Binomial

### 📊 **Distribusi Binomial**

Distribusi **binomial** adalah distribusi probabilitas yang menggambarkan jumlah keberhasilan dalam serangkaian percobaan yang **independen** dan **berulang**. Setiap percobaan dalam distribusi binomial memiliki dua kemungkinan hasil: **sukses** atau **gagal**. Distribusi ini sering digunakan untuk model masalah yang melibatkan percobaan yang berulang dengan hasil yang jelas, seperti melempar koin, pengujian kualitas produk, atau memilih pelanggan yang membeli produk tertentu.

***

#### 1. **Karakteristik Distribusi Binomial**

Distribusi binomial memiliki beberapa karakteristik utama, antara lain:

* **Jumlah percobaan tetap (n)**: Dalam distribusi binomial, ada jumlah percobaan yang tetap, yang kita sebut **n**. Setiap percobaan adalah percobaan yang independen, artinya hasil percobaan pertama tidak memengaruhi hasil percobaan berikutnya.
* **Hasil Percobaan**: Setiap percobaan hanya memiliki dua hasil yang memungkinkan: **sukses** atau **gagal**. Misalnya, jika kita melempar koin, hasilnya bisa "kepala" (sukses) atau "ekor" (gagal).
* **Probabilitas Keberhasilan (p)**: Probabilitas keberhasilan pada setiap percobaan tetap dan disebut **p**. Misalnya, jika kita melempar koin, probabilitas mendapatkan kepala (sukses) adalah 0.5.
* **Probabilitas Gagal (q)**: Probabilitas kegagalan pada setiap percobaan adalah **q = 1 - p**.
* **Distribusi Binomial**: Jika ada **n** percobaan dan probabilitas keberhasilan setiap percobaan adalah **p**, maka distribusi binomial menggambarkan jumlah keberhasilan dalam **n** percobaan.

***

#### 2. **Fungsi Probabilitas Binomial**

Distribusi binomial dihitung dengan rumus fungsi probabilitas binomial (PMF):

$$
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}
$$

Di mana:

* $$P(X = k)$$ adalah probabilitas mendapatkan $$k$$ keberhasilan dalam $$n$$ percobaan.
* $$n$$ adalah jumlah percobaan.
* $$k$$ adalah jumlah keberhasilan yang diinginkan.
* $$p$$ adalah probabilitas keberhasilan dalam setiap percobaan.
* $$(1 - p)$$ adalah probabilitas kegagalan dalam setiap percobaan.
* $$\binom{n}{k}$$ adalah koefisien binomial, yang dihitung sebagai $$\frac{n!}{k!(n - k)!}$$, menggambarkan jumlah cara memilih $$k$$ keberhasilan dari $$n$$ percobaan.

***

**3. Contoh Kasus Distribusi Binomial**

Misalkan Anda ingin menghitung probabilitas mendapatkan 3 kepala dalam 5 kali lemparan koin yang adil (probabilitas kepala = 0.5). Dalam hal ini:

* $$n = 5$$ (jumlah percobaan),
* $$k = 3$$ (jumlah keberhasilan yang diinginkan, yaitu kepala),
* $$p = 0.5$$ (probabilitas keberhasilan, yaitu mendapatkan kepala),
* $$q = 0.5$$ (probabilitas kegagalan, yaitu mendapatkan ekor).

Dengan rumus distribusi binomial:

$$
P(X = 3) = \binom{5}{3} (0.5)^3 (0.5)^{5 - 3}
$$

Menghitung:

$$
P(X = 3) = \binom{5}{3} (0.5)^5 = 10 \times 0.03125 = 0.3125
$$

Jadi, probabilitas mendapatkan 3 kepala dalam 5 lemparan koin adalah 0.3125 atau 31.25%.

***

**4. Parameter Distribusi Binomial**

Distribusi binomial memiliki dua parameter utama:

* $$n$$: Jumlah percobaan.
* $$p$$: Probabilitas keberhasilan pada setiap percobaan.

Dua parameter ini mengatur bentuk distribusi binomial dan memungkinkan kita untuk menghitung probabilitas berbagai hasil berdasarkan jumlah percobaan dan kemungkinan keberhasilan.

***

**5. Rumus Mean dan Varians Distribusi Binomial**

Untuk distribusi binomial, kita dapat menghitung mean (rata-rata) dan varians sebagai berikut:

* **Mean (μ)** dari distribusi binomial dihitung dengan rumus:

$$
\mu = n \times p
$$

Dimana $$n$$ adalah jumlah percobaan dan $$p$$ adalah probabilitas keberhasilan.

* **Varians (σ²)** dari distribusi binomial dihitung dengan rumus:

$$
\sigma^2 = n \times p \times (1 - p)
$$

Dimana $$n$$ adalah jumlah percobaan, $$p$$ adalah probabilitas keberhasilan, dan $$(1 - p)$$ adalah probabilitas kegagalan.

***

**6. Contoh: Menghitung Mean dan Varians**

Misalkan kita melakukan 10 percobaan untuk memilih sebuah produk, dan probabilitas keberhasilan (memilih produk yang berkualitas) adalah 0.7.

* **Mean (μ):**

$$
\mu = 10 \times 0.7 = 7
$$

Artinya, kita mengharapkan 7 produk berkualitas dari 10 percobaan.

* **Varians (σ²):**

$$
\sigma^2 = 10 \times 0.7 \times (1 - 0.7) = 10 \times 0.7 \times 0.3 = 2.1
$$

Variansnya adalah 2.1, yang menggambarkan seberapa besar penyebaran jumlah produk berkualitas yang diharapkan.

***

#### 7. **Aplikasi Distribusi Binomial**

Distribusi binomial banyak digunakan dalam berbagai bidang, antara lain:

* **Pemasaran**: Menghitung jumlah pelanggan yang mungkin membeli produk tertentu dari sebuah iklan atau kampanye pemasaran.
* **Pendidikan**: Menghitung jumlah siswa yang lulus dalam serangkaian ujian berdasarkan probabilitas kelulusan per ujian.
* **Kesehatan**: Menghitung jumlah pasien yang akan merespon positif terhadap pengobatan tertentu dari populasi yang lebih besar.
* **Quality Control**: Menghitung jumlah produk cacat dalam serangkaian pemeriksaan produk.

***

#### 8. **Kesimpulan**

Distribusi **binomial** adalah distribusi probabilitas untuk menghitung jumlah keberhasilan dalam sejumlah percobaan yang independen, di mana setiap percobaan memiliki dua hasil yang mungkin (sukses atau gagal). Dengan parameter **n** (jumlah percobaan) dan **p** (probabilitas keberhasilan), distribusi binomial memberikan gambaran tentang seberapa sering keberhasilan terjadi dalam percobaan tersebut. Distribusi ini banyak digunakan dalam bidang bisnis, kesehatan, pendidikan, dan berbagai aplikasi lainnya yang melibatkan percobaan dengan dua hasil yang saling bertentangan.
